Жюль Анри́ Пуанкаре́ (фр. Jules Henri Poincar; 29 апреля 1854, Нанси, Франция — 17 июля 1912, Париж) — французский математик, механик, физик, астроном и философ. Глава Парижской академии наук (1906), член Французской академии (1908) и ещё более 30 академий мира, в том числе иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук (1895). Историки причисляют Анри Пуанкаре к величайшим математикам всех времён. Он считается, наряду с Гильбертом, последним математиком-универсалом, учёным, способным охватить все математические результаты своего времени. Его перу принадлежат более 500 статей и книг. Не будет преувеличением сказать, что не было такой области современной ему математики, "чистой" или "прикладной", которую бы он не обогатил замечательными методами и результатами. Среди его самых крупных достижений:

— Создание топологии.

— Качественная теория дифференциальных уравнений.

— Теория автоморфных функций.

— Разработка новых, чрезвычайно эффективных методов небесной механики.

— Создание математических основ теории относительности, а также обобщение принципа относительности на все физические явления.

— Наглядная модель геометрии Лобачевского.

Автоморфная функция — функция f f , аналитическая в некоторой области G ⊂ C G C и удовлетворяющая в этой области соотношению f ( g ( z ) ) = f ( z ) f(g(z)) = f(z) , где g g — элемент некоторой счётной подгруппы группы дробно-линейных преобразований комплексной плоскости.

Топологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной структурой определённого типа (так называемой топологией); является основным объектом изучения раздела геометрии под названием топология. Исторически понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства. Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики.

Интеграл Пуанкаре — Картана — относительный интегральный инвариант первого порядка для классической динамической системы в потенциальном поле (интегральный инвариант Пуанкаре — Картана).

Метрика Пуанкаре на гиперболической римановой поверхности — согласованная с комплексной структурой метрика постоянной отрицательной кривизны на ней. На единичном диске D задаётся формулой d s 2 = | d z | 2 ( 1 − | z | 2 ) 2 . ds^2= |dz|^2(1-|z|^2)^2. На любую другую поверхность S, универсальной накрывающей над которой является диск, метрика Пуанкаре корректно спускается факторизацией, поскольку метрика на диске инвариантна относительно его автоморфизмов.

Сфера Пуанкаре — двумерная сфера S 2 S^2 , в декартовых координатах определяемая параметрами Стокса. В поляризационной оптике введена Анри Пуанкаре в 1892 году . В других разделах физики этой модели соответствует сфера Блоха. От гомологической трёхмерной сферы (homology sphere) в физике остается лишь база расслоения Хопфа — сфера Римана. Информация о третьем измерении (фаза колебаний) отбрасывается. Это проективное упрощение позволило изготовить модель расслоения фазового пространства поляризаций в виде шара, что дало возможность наглядно рассчитывать конкретные волновые процессы. В механике сфера Пуанкаре описывает состояния малых колебаний сферического маятника, фигуры Лиссажу одинаковой частоты.

Теорема Коши — Пуанкаре является обобщением на случай многомерного комплексного пространства интегральной теоремы Коши. Была доказана А. Пуанкаре в 1886 г.

Пуанкаре опубликовал две классические монографии: "Новые методы небесной механики" (1892—1899) и "Лекции по небесной механике" (1905—1910). В них он успешно применил результаты своих исследований к задаче о движении трёх тел, детально изучив поведение решения (периодичность, устойчивость, асимптотичность и т. д.). Им введены методы малого параметра (теорема Пуанкаре о разложении интегралов по малому параметру), неподвижных точек, интегральных инвариантов, уравнений в вариациях, исследована сходимость асимптотических разложений[28]. Обобщив теорему Брунса (1887), Пуанкаре доказал, что задача трёх тел принципиально не интегрируема[29]. Другими словами, общее решение задачи трёх тел нельзя выразить через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел[30]. Его работы в этой области считаются крупнейшими достижениями в небесной механике со времён Ньютона[31]. Эти работы Пуанкаре содержат идеи, ставшие позднее базовыми для математической теории хаоса (см., в частности, теорему Пуанкаре о возвращении) и общей теории динамических систем. Пуанкаре принадлежат важные для астрономии труды о фигурах равновесия гравитирующей вращающейся жидкости. Он ввёл важное понятие точек бифуркации, доказал существование фигур равновесия, отличных от эллипсоида, в том числе кольцеобразных и грушевидных фигур, исследовал их устойчивость[32]. За это открытие Пуанкаре получил золотую медаль Лондонского королевского астрономического общества (1900).