Систематическое введение логических доказательств, явившееся переломным моментом в развитии математики. В Пифагорейской научной школе было начато построение геометрии как отвлеченной науки, истины которой выводятся из немногих исходных аксиом с помощью доказательств. К пифагорейцам восходят первые математические теории: планиметрия прямолинейных фигур (включая строгое доказательство знаменитой теоремы Пифагора) и элементы теории чисел (введение понятий простого числа, взаимно простых чисел, исследование делимости, построение совершенных чисел). В этой же школе были открыты три из пяти правильных тел: куб, тетраэдр и додекаэдр. IV в. до н. э. (первая половина) - афинский математик Теэтет предпринял исследование алгебраических иррациоиальностей и начал классификацию их. Определил простейшие классы квадратичных иррациональностей, , ,которые были впоследствии описаны в Началах Евклида. Он показал также, чтоиррационален, если он не является кубом. Ему же принадлежит открытие октаэдра и икосаэдра.

IV в. до н. э. (середина) - математик и астроном Евдокс из Книда создал общую теорию отношений для любых однородных величин (как соизмеримых, так и несоизмеримых). Эта теория совпадает, по существу, с теорией действительных чисел, предложенной в конце XIX в. Р. Дедекиндом. Для определения площадей и объемов Евдокс разработал так называемый метод исчерпывания. В основе обеих теорий лежало общее учение о величинах, причем впервые была сформулирована важнейшая аксиома, известная ныне под названием аксиомы Архимеда: если а> b , то можно повторитьbстолько раз, что nb > a .

С помощью новых методов Евдокс впервые доказал, что конус равновеликцилиндра, имеющего одинаковые с ним основания и высоту, а пирамида равновеликасоответствующей призмы. Он доказал также, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.