В 1850-е годы Чебышёв заинтересовался шарнирно-рычажными механизмами, служащими для приближённого преобразования кругового движения в прямолинейное и наоборот. К числу таких механизмов относится параллелограмм Уатта, сконструированный изобретателем универсальной паровой машины Дж. Уаттом как раз для преобразования прямолинейного возвратно-поступательного движения штока (жёстко связанного с поршнем паровой машины) в качательное движение конца балансира. К середине XIX века подобных механизмов было известно немного, параметры их звеньев подбирались эмпирически, в то время как неизбежные неточности прямого хода приводили к росту потерь на трение и быстрому изнашиванию звеньев. Чебышёв поставил задачу целенаправленного нахождения параметров искомого механизма с тем, чтобы на некотором заданном отрезке максимальное отклонение траектории рабочей точки механизма от её касательной в средней точке наименее уклонялось от нуля по сравнению с другими аналогичными траекториями. Решая данную задачу, учёный пришёл к созданию нового раздела теории приближения функций — теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. Полученные результаты Чебышёв изложил в работе "Теория механизмов, известных под названием параллелограммов" (1854), став основоположником математической теории синтеза механизмов. Методы теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, П. Л. Чебышёв применил также в работах о центробежном регуляторе (где требовалось обеспечить изохронность хода механизма) и о зубчатых колёсах (для построения при помощи дуг окружностей профиля зуба, позволяющего добиться близости отношения угловых скоростей колёс к требуемому значению).