Разлучившись с Куком, Фюрно пошел прямо на Вандименову Землю и обследовал ее восточное побережье от Южного мыса до 40끐' ю.ш., где берег отклонился к западу, образуя, по всей вероятности, глубокий залив. С палубы видны были огни на островах, что лежали за линией берега. Он назвал их островами Фюрно. Находятся они, как мы теперь знаем, у восточного входа в Бассов пролив, отделяющий Тасманию от Австралии, но там глубины так малы, что Фюрно, боясь напороться на риф, отошел на восток и потерял из виду землю. Он увидел ее снова у 39 ю.ш. (вероятно, юго-восточный мыс Австралии у Бассова пролива) и снова отошел на восток. И чрезмерно осторожный Фюрно сделал ошибочный вывод: Мне кажется, что между Вандименовой Землей и Новой Голландией нет пролива; вероятно, имеется лишь глубоко вдающийся в сушу залив. Он повернул на восток и 5 апреля стал на якорь в проливе Королевы Шарлотты.

7 июня — 15 июля 1773 г. экспедиция обследовала белое пятно на картах того времени — полосу океана между 39 и 47 ю.ш. к востоку от Новой Зеландии до 133뀰' з.д. Пройдя около 5,6 тыс. км и не обнаружив никаких земель, Кук взял курс на север, к о. Питкэрн, но не нашел его, так как и Картерет неточно определил долготу. 11–14 августа корабли шли через архипелаг Туамоту, обнаружив несколько атоллов, и 17 августа стали на якорь у Таити, где пробыли две недели. Затем они двинулись к Тонга и на пути 28 сентября прошли мимо группы небольших, видимо, необитаемых атоллов (Херви — 19뀠' ю.ш., 158끕' з.д.). В архипелаге Тонга экспедиция пробыла до 7 октября, а затем направилась к Новой Зеландии. 22-23 октября у восточного берега Новой Зеландии при дожде и сильном ветре корабли разлучились во второй раз и в ночь на 30 октября при слабом ветре у входа в пролив Королевы Шарлотты — в третий раз. В назначенном ранее месте встречи (Корабельная бухта, в проливе) Эдвенчера не было. Кук напрасно ожидал его с 3 по 25 ноября и повел Резольюшен в антарктические воды, потеряв надежду соединиться с Фюрно: о других пунктах встречи они не договаривались.

В Корабельную бухту Фюрно прибыл только 30 ноября. Высадившись на берег, моряки увидели на дереве надпись смотри внизу, выкопали яму и нашли в ней бутылку с письмом Кука. Фюрно получил там указания о курсе, которого Кук намерен был в дальнейшем придерживаться. 17 декабря, закончив подготовку к плаванию, Фюрно послал на берег за овощами шлюпку с двумя офицерами и восемью матросами, но никто не вернулся. На следующий день Фюрно отправил на розыски офицера с командой в 10 человек. После долгих поисков они нашли корзинки с останками убитых моряков; по морскому обычаю их зашили в парусину и с балластом опустили за борт. (Как выяснил Кук в феврале 1777 г., англичане сами спровоцировали нападение: на глазах толпы маорийцев избили одного из них, обвиняя его в краже нескольких сухарей и рыбы, когда же из-за этого началась ссора, стали стрелять в толпу и убили двоих. Не успели англичане перезарядить ружья, как маорийцы напали на них и всех перебили.)