В Пифагорейской школе сделано величайшее открытие о несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Оно показало, что рациональных чисел (т. е. целых чисел и дробей) недостаточно для измерения геометрических величин и обоснования учения о подобии. Благодаря этому открытию возникла необходимость создания теории отношений как соизмеримых, так и несоизмеримых величин.

V в. до н. э .(вторая половина) - создана так называемая геометрическая алгебра, которая давала возможность в общем виде решать задачи, сводящиеся к квадратному уравнению или последовательности таких уравнений, чисто геометрически, с помощью циркуля и линейки. Геометрическая алгебра играла в античной математике роль нашей буквенной алгебры, но аппарат ее был гораздо менее удобен.

В это же время были сформулированы три знаменитые задачи древности:

1) удвоение куба (построить куб, имеющий объем в два раза больший данного),

2) трисекция угла (разделить произвольный угол на три равные части) и

3) квадратура круга (построить квадрат, равновеликий данному кругу).

Все эти построения, как было доказано в XIX в., невозможны с помощью циркуля и линейки. Древние использовали для их решения новые кривые: конические сечения (эллипс, гиперболу и параболу) и квадратрису (первую трансцендентную кривую).

В поисках квадратуры круга Гиппократ Хиосский открыл квадрируемые луночки (получившие название гиппократовых), т, е. фигуры, ограниченные дугами окружностей, для которых можно построить равновеликие им квадраты.

В конце V в. Гиппократ составил первые Начала - систематическое изложение основ математики своего времени. Труд этот до нас не дошел.

Вопросы учащимся:

Сформулируйте теорему Пифагора.