В Пифагорейской школе сделано величайшее открытие о несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Оно показало, что рациональных чисел (т. е. целых чисел и дробей) недостаточно для измерения геометрических величин и обоснования учения о подобии. Благодаря этому открытию возникла необходимость создания теории отношений как соизмеримых, так и несоизмеримых величин.

V в. до н. э .(вторая половина) - создана так называемая геометрическая алгебра, которая давала возможность в общем виде решать задачи, сводящиеся к квадратному уравнению или последовательности таких уравнений, чисто геометрически, с помощью циркуля и линейки. Геометрическая алгебра играла в античной математике роль нашей буквенной алгебры, но аппарат ее был гораздо менее удобен.

В это же время были сформулированы три знаменитые задачи древности:

1) удвоение куба (построить куб, имеющий объем в два раза больший данного),

2) трисекция угла (разделить произвольный угол на три равные части) и

3) квадратура круга (построить квадрат, равновеликий данному кругу).

Все эти построения, как было доказано в XIX в., невозможны с помощью циркуля и линейки. Древние использовали для их решения новые кривые: конические сечения (эллипс, гиперболу и параболу) и квадратрису (первую трансцендентную кривую).

В поисках квадратуры круга Гиппократ Хиосский открыл квадрируемые луночки (получившие название гиппократовых), т, е. фигуры, ограниченные дугами окружностей, для которых можно построить равновеликие им квадраты.

В конце V в. Гиппократ составил первые Начала - систематическое изложение основ математики своего времени. Труд этот до нас не дошел.

Вопросы учащимся:

Сформулируйте теорему Пифагора.

Систематическое введение логических доказательств, явившееся переломным моментом в развитии математики. В Пифагорейской научной школе было начато построение геометрии как отвлеченной науки, истины которой выводятся из немногих исходных аксиом с помощью доказательств. К пифагорейцам восходят первые математические теории: планиметрия прямолинейных фигур (включая строгое доказательство знаменитой теоремы Пифагора) и элементы теории чисел (введение понятий простого числа, взаимно простых чисел, исследование делимости, построение совершенных чисел). В этой же школе были открыты три из пяти правильных тел: куб, тетраэдр и додекаэдр. IV в. до н. э. (первая половина) - афинский математик Теэтет предпринял исследование алгебраических иррациоиальностей и начал классификацию их. Определил простейшие классы квадратичных иррациональностей, , ,которые были впоследствии описаны в Началах Евклида. Он показал также, чтоиррационален, если он не является кубом. Ему же принадлежит открытие октаэдра и икосаэдра.

IV в. до н. э. (середина) - математик и астроном Евдокс из Книда создал общую теорию отношений для любых однородных величин (как соизмеримых, так и несоизмеримых). Эта теория совпадает, по существу, с теорией действительных чисел, предложенной в конце XIX в. Р. Дедекиндом. Для определения площадей и объемов Евдокс разработал так называемый метод исчерпывания. В основе обеих теорий лежало общее учение о величинах, причем впервые была сформулирована важнейшая аксиома, известная ныне под названием аксиомы Архимеда: если а> b , то можно повторитьbстолько раз, что nb > a .

С помощью новых методов Евдокс впервые доказал, что конус равновеликцилиндра, имеющего одинаковые с ним основания и высоту, а пирамида равновеликасоответствующей призмы. Он доказал также, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

Архимед разработал методы нахождения площадей и объемов, а также методы определения касательных и наибольших и наименьших значений величин, которые он применил для решения проблем статики, гидростатики и теории равновесия плавающих тел. Методы Архимеда легли в основу дифференциального и интегрального исчислений, созданных в XVII в. Архимед нашел все полуправильные многогранники. С помощью конических сечений он решал кубические уравнения вида

х 2 (ах)= b

и проводил полное их исследование.

Евклид создал Начала, в которых подвел итог всему предшествующему развитию античной математики. Дедуктивный метод изложения Начал стал образцом для построения математической теории. В Началах систематически изложены геометрия, элементы теории чисел, алгебры, теория отношений и метод исчерпывания. Здесь сформулирован алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, доказано, что произведение чисел ab делится на простое число р тогда и только тогда, когда один из сомножителей делится на р, а также, что простых чисел бесконечно много. В Началах впервые встречается строгий вывод формулы суммы конечного числа членов геометрической прогрессии и показывается, что существует только пять правильных многогранников: куб, тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Аполлоний систематически и всесторонне исследовал конические сечения. Его книги о конических сечениях послужили основой для создания ана литической геометрии Р. Декартом и П. Ферма (XVII в.), проективной геометрии В. Паскалем и Ж. Дезаргом (XVII в.), а также явились математическим аппаратом при исследованиях по механике и астрономии И. Кеплера, Г. Галилея и И. Ньютона.

- создание древнейшего дошедшего до нас китайского математического трактата Математика в девяти книгах, содержавшего сведения по арифметике и геометрии. При решении задач в трактате применялась теорема Пифагора. Наиболее замечателен в нем единообразный метод решения системы линейных уравнений. При этом появляются отрицательные числа, для которых формулируются правила сложения и вычитания. В трактате излагается также алгоритм вычисления .квадратных и кубических корней, аналогичный современному. Этот алгоритм в VII-XIII вв. был перенесен на случай вычисления корней общих уравнении третьей и четвертой степеней. Он совпадает в основном с так называемой схемой Горнера, полученной в Европе в XIX в.

Менелай создал систематический курс сферической геометрии, построенный по образцу "Начал" Евклида, и развил сферическую тригонометрию.

Диофант Александрийский написал "Арифметику", в которой расширил числовую область до поля рациональных чисел, сформулировал правило умножения относительных чисел, ввел алгебраическую символику: знаки для первых шести положительных и отрицательных степеней неизвестного, для вычитания и равенства. Там же приведены и правила переноса членов из одной части уравнения в другую и приведения подобных. В Арифметике рассмотрены проблемы решения неопределенных уравнений в рациональных числах и даны методы для нахождения рациональных решений неопределенных уравнений второй и третьей степени.

Ill в. н. э в трактате Сунь Цзы встречаются именованные десятичные дроби.

499 г. -в астрономическом трактате Ариабхата решил в целых числах неопределенное уравнение

ах+bу=с.

Около 628 г.-Брахмагупта, оперируя отрицательными числами, дал единое правило для решения любого квадратного уравнения, сформулировал правила действий с нулем, который благодаря этому стал числом, равноправным с другими числами. Брахмагупта пользовался алгебраической символикой: специальными знаками для неизвестных и их степеней, знаками для корня квадратного, для операций сложения и вычитания.

IX в. -Мухаммед ал-Хорезми объяснил правила действий с числами, записанными в десятичной позиционной системе, и исследовал квадратные уравнения. Слова алгебра и алгоритм впервые появились в переводе его трактатов. Первое из них означало операцию переноса членов из одной части уравнения в другую, а второе - искаженное имя автора (ал-Хорезми -Algorithmi ), оно применялось первоначально только для обозначения правил вычисления по десятичной позиционной системе.

XI в.-математик и поэт Омар Хайям в трактате по алгебре решал геометрически кубические уравнения (по методу Архимеда). Комментируя Начала Евклида, он сблизил понятия отношения и числа. Ко времени Хайяма была известна формула возведения бинома в любую целую положительную .степень и способ извлечения корня любой степени.

XII в. -Бхаскара-акарья сформулировал все правила действий с отрицательными числами. Бхаскара знал, что благодаря двузначности квадратного корня квадратное уравнение может иметь два решения.

XIII в . -Насирэддин Туей написал трактат по сферической геометрии и тригонометрии, содержавший учение о решении треугольников. Трактат сыграл решающую роль для развития тригонометрии в Европе.

XII-XIII вв. -на латинский язык переведены арабские и греческие сочинения по математике. Постепенно в Европе распространилась десятичная позиционная система.

XIII в. - Леонардо Пизанский (Фибоначчи) изложил новую позиционную нумерацию, дал сведения по алгебре и арифметике

XIV -XV вв. - усовершенствована алгебраическая символика, введены обозначения для степени, для радикала и степеней неизвестного.

XVI в. - первый крупный успех европейской математики:

С. Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано решили уравнение третьей степени в радикалах

и ученик Кардано, Л. Феррари, - уравнение четвертой степени.